一种光电子能谱费米面拼接方法

费米面是固体材料k空间占有电子与不占有电子区域的分界面。不同材料的费米面形状不一样，自由电子气的费米面是一个球面；半导体材料和绝缘体材料，电子恰好填满价带，导带没有电子填充，费米面位于能隙之间；导电金属如碱金属，导带被部分填充，其内电子接近自由分布，费米面也接近球形。费米面的形状、大小以及拓扑关系与能带的填充情况、性质(电子型还是空穴型)、电子集体运动模式如电荷密度波(CDW, Charge Density Wave)和自旋密度波(SDW，Spin Density Wave)、准粒子激发等材料内部的电子结构密切相关。费米面的这种性质使其在铜氧化物超导体、铁基超导体、拓扑绝缘体等各种先进材料的研究中有着重要的地位和作用[1-4]。

探测费米面最直接的实验手段有德·哈斯-范·阿尔芬(dHvA, de Hass-van Alphen)效应和角分辨光电子能谱技术(ARPES, Angle-Resolved Photoemission Spectroscopy)。前者通过测量磁化率随外磁场倒数的振荡周期，推测出与磁场方向垂直的费米面的轮廓。后者通过探测材料出射的光电子随动量的分布，直接测量费米面的轮廓结构。与dHvA效应比较，光电子能谱技术更加直观，但是其探测范围取决于光源光子能量大小、探测器的探测立体角以及材料本身的晶格常数等因素，一次只能探测布里渊区一个区域内费米面信息。光电子能谱常用的光源有深紫外激光光源、同步辐射光源和气体放电光源。同步辐射光源光子能量可调范围大，探测的倒空间范围也大，但设备复杂，成本高。普通实验室常见的光源一般都是气体放电光源，比较典型的有氦灯，光子能量约为21.218eV。光电子探测器探测立体角通常约为30°[5-7]。图1给出了当晶格常数a=3.8Å，光子能量hν=21.218eV，探测器角度为30°时，光电子探测器R4000和ARToF 10K在倒空间的探测范围。其中样品法向垂直指向分析器探测窗口。

从图1可以看到，当样品法向垂直指向探测器时，只有Γ点附近的费米面可以测量到，要测量X点或者M点的费米面，则必须改变样品相对于探测器的取向，将测量区域移到X点或者M点附近，然后将费米面拼接在一起。

当前的拼接方法通常是将不同角度范围测量的费米面直接相加。直接相加时，会有如下问题：(1)不同角度测量的费米面同一结构特征位置存在偏差，在数据统计上也会存在差异；(2)重叠区域直接为二者之和，费米面拼接在过渡区域区分明显，融合不够自然。这种叠加有时甚至会在拼接边界造成数据假象。

图2给出了CeCoIn5费米面的测量结果，图2(a)表示沿Γ-X方向测量的费米面，图2(b)表示Γ点附近测量的费米面，(c)为将(a)和(b)直接相加的结果，其中(b)整体乘了0.3的比例因子，(d)表示沿(a)、(b)和(c)中灰线处对应的MDC曲线(Momentum Distribution Curve)，测量使用光源为氦灯(21.218eV)，温度为25K。从图2(c)可以看到，直接相加后拼接效果非常差，首先两个费米面没有对齐，其次在重叠区域边沿出现突变，看不到完整的费米面轮廓。从图2(d)的MDC曲线可以更加清楚地看到在重叠区域边界处出现的突变，费米面2 Γ点处尖锐的峰状结构由于简单相加在结果中也被抑制了。

本文从数据处理的角度给出了费米面的一种拼接方法：首先根据费米面结构特征对费米面进行配准，以其中一个费米面为基准，求出仿射变换矩阵；接着将费米面二值化，利用边沿检测算法求出费米面测量区域的轮廓；最后以到费米面测量区域轮廓的距离作为权重将两费米面重叠区域按照像素进行拼接融合，非重叠区域保持不变。

本文提到的拼接方法在Igor Pro下实现。Igor Pro是一个可编程化的实验数据处理和可视化软件，在编程密集型如图谱类的实验数据处理中被广泛采用，具有很高的使用效率[8]。

1 配准并获取仿射变换矩阵

在ARPES测量中，样品取向角度测量值与真实值相比存在误差，两个不同角度取向测量的(对应动量空间不同测量区域)费米面，位置关系存在偏差，相同的特征结构位置一般并不一致，因此在拼接之前需要配准。配准可以通过手动设定角度计算并比较对应的费米面来完成，但是这种方法比较繁琐，效率较低。利用仿射变换可以精确、高效地配准费米面。

从实验原理可知样品的两个不同角度取向测量的费米面之间的同一特征结构形状是一致的，只是在位置上存在由于角度误差引起的偏差，因此这两个特征结构之间可通过一个仿射变换相联系，仿射变换由旋转缩放和平移矩阵组成，表达形式如下：

x=[s Rt]x′

x=(x,y)T,R是一个2×2的旋转矩阵，s表示缩放因子，t=(dx,dy)T，表示平移矩阵[9]，如图3所示。

将一个费米面施以仿射变换，其对应特征结构应与另一个费米面相应特征结构吻合，吻合程度可以通过最小二乘原理定量描述。于是可以通过迭代算法利用最小二乘原理得到仿射变换矩阵M=[sRt]。在Igor Pro中可利用ImageRegistration命令自动获取仿射变换矩阵M，方法如下：ImageRegistration testwave=FS1,refwave=FS2 其中FS1和FS2表示待配准的两个费米面。ImageRegistration命令使用Levenberg-Marquardt算法迭代寻找最佳仿射变换矩阵。

自动配准程序一般要求费米面具有明显的特征。由于噪声及测量原理的限制，ARPES测量中同一结构特征的精确程度有时不足以达到自动配准的要求。还有一些费米面其轮廓近似呈一条“线”，这种情况自动配准误差也是非常大的。此时可以利用经验手动完成配准。手动配准是指手动定两个费米面一致的特征点，如图4所示。

两个待拼接的费米面应一致的特征点分别用P1, P2, P3和P1′，P2′, P3′表示。记P1=(x1,y1)，P′1=(x′1,y′1)，于是有：

m1, m2, m3, m4为旋转矩阵R的矩阵元，表示旋转和缩放因子，dx和dy为平移矩阵t的矩阵元，写成矩阵形式如下：

仿射变换矩阵M为

M有6个未知数，正好对应3对坐标，通过求解方程就可以得到M。可以进一步将上述方程写成如下的线性方程组：

整理成矩阵形式：

这是一个形如Y=AX的标准线性方程，在Igor Pro下可利用下面的命令求解：

MatrixLinearSolve/O A,VB

A和VB都可以由已知的特征点坐标直接写出。X是待求解的结果。

对于图4所示的费米面，由于待配准的费米面特征结构非常明显，都具有明显的菱形轮廓，因此可以利用自动配准算法进行配准。

2 费米面测量区域轮廓确定

确定测量区域的轮廓是为了确定拼接时重叠区域的融合权重。轮廓的确定可以分为三步：将费米面数据二值化，对二值化结果进行边沿检测，利用边沿检测生成测量区域的轮廓曲线。

因为测量区域数据一般都不为零，其他区域数值都等于零，因此可取一个稍大于零的数作为费米面的二值化时的阈值。电子探测器ARToF和DA30(A30模式)测量区域会有个别点出现零值，可先对费米面进行高斯滤波，去掉这些零值。在Igor Pro中二值化的命令为

ImageThreshold/T=(tn) FS

FS是高斯滤波后的费米面。tn是阈值。

边沿检测可以利用Sobel算子或者Laplacian算子。在Igor Pro中可以利用下面命令进行边沿检测：

MatrixFilter findedges B_FS

B_FS是二值化后的灰度图像。

边沿检测的结果是一个灰度图像，有轮廓的地方值为255，其他的地方值为零。可以通过检测灰度图像值是否等于255来确定轮廓曲线。在Igor Pro中可以利用FindContour命令获取轮廓曲线：

FindContour Edge_FS

Edge_FS是边沿检测结果灰度图像

轮廓曲线是一个多边形。FindContour命令获取的曲线顶点数比较多，可以降采样以减少之后的运算量，提高运算速度。整个流程如图5所示。

3 拼接融合

图像拼接融合分为3级：像素级融合，特征级融合，决策级融合。本文采用像素级融合方式，按照像素点对重叠区域按照权重进行拼接融合，具体公式如下[9]：

IFS1和IFS2表示费米面处某一像素点的强度取值。这里关键是权值α 如何确定。传统的方法α 取固定值(图2)，拼接效果较差。本方法根据像素点位置动态调整权值 α：如果像素点位于某一个费米面测量区域，且位于较深的位置，那么取费米面该处值的权重 α较大(这可以使得该点取值最大可能与周围环境一致，避免产生突变)，否则较小。拼接融合分为以下四步：

(1) 两个费米面各自乘一个常数，使两个费米面数据强度总体在数量级上一致。

(2) 创建存放结果的矩阵。取出矩阵的每一对坐标(相当于一个像素点)，先对第一个费米面进行插值，结果为v1；然后利用仿射变换计算变换后的坐标，利用变换后的坐标对第二个费米面进行插值，结果为v2。

(3) 判断两个插值结果是否为零，只要有一个为零，则结果矩阵的值直接取两个插值之和v1+v2(对应非重叠区域，直接取对应费米面位置处像素值)。如果插值结果为Nan(Nan是一个非数值，表示超出插值范围)，则将对应插值结果设为零。

(4) 如果两个插值结果都不为零(对应重叠区域)，则计算该坐标点和变换后坐标点距离各费米面测量区域轮廓的最短距离d1和d2，取

融合结果为

Iresult=α×v1+(1-α)×v2

第四步中，d1和d2为坐标点到各自费米面测量区域轮廓的距离，这个值越大，表示坐标点位于该费米面越深的位置，相应权重也越大。实际计算时可以通过计算坐标点和曲线多边形各顶点的距离得到近似值，简化运算。

4 结果及讨论

图6是对图2所示的CeCoIn5费米面按照本文方法进行拼接融合后的结果。图6(a)中所示费米面和图2(a)一致，图6(b)所示费米面为以图6(a)为标准对齐以后的费米面;图6(c)为按照本文方法拼接以后的结果，与图2(c)相比较，图6(c)中重叠区域边界处不连续性消失，强度一致，衔接自然。与拼接以前相比较，拼接以后整体费米面轮廓非常清晰。和图2(d)一样， 图6(d)给出了相应的MDC曲线，可以看到MDC重叠区域边界处线型平滑，突变完全消失。由于动态考虑了两个费米面各自的权重，两个费米面对应的特征结构被最大程度地保留，数据效果明显改善。

不同测量区域的费米面拼接是ARPES实验技术的中常见的基本操作。本文从数据处理的角度系统地研究了这个问题，所给出的方法能充分利用不同条件下测量的结果，改善数据的统计特性，拼接效果良好。本文给出的方法具有很大的普适性，不依赖于实验条件，可用于任何费米面图谱的拼接。由于本方法的处理对象是灰度图像，因此其他可以表示成灰度图像的测量结果，如STM图谱的拼接，也可以应用本方法。

参考文献

[1] 黄昆,韩汝琦. 固体物理学[M]. 北京:高等教育出版社,2010:213-223.

[2] XIA Y, QIAN D, WRAY L, et al. Fermi surface topology and low-lying quasiparticle dynamics of parent Fe1txTe=Se Superconductor[J]. Physical Review Letters. 103, 037002(2009).

[3] MENG J Q , LIU G D, ZHANG W T, et al. Coexistence of Fermi arcs and Fermi pockets in a high-Tc copper oxide superconductor[J]. Nature. 462, 335-338(2009).

[4] MOU D X , SAPKOTA A, H.-H. Kung, et al. Discovery of an unconventional charge density wave at the surface of K0.9Mo6O17[J]. Physical Review Letters. 116, 196401(2016).

[5] Stefan Hufner., Photo Electron Spectroscopy[M]. Springer. (2003).

[6] LIU G D, Wang G L, ZHU Y, et al. Development of a vacuum ultraviolet laser-based angle-resolved photoemission system with a superhigh energy resolution better than 1meV[J]. Rev. Sci. Instrum. 79, 023105(2008).

[7] 贾小文. 角分辨光电子能谱对重费米子超导体CeCoIn5和铁基超导体Fe(SexTe1-x)的研究[D]. 北京:中国科学院物理研究所,2011.

[8] 贾小文. Igor Pro实用教程[M]. 北京：清华大学出版社(2018).

[9] 谢凤英，赵丹培，李露，等，数字图像处理及应用[M]. 北京：电子工业出版社(2014).

基金项目: 陆军军事交通学院博士启动经费(41741107)。

作者简介: 贾小文，男，陆军军事交通学院讲师，主要从事物理实验教学科研工作,研究方向为凝聚态物理、实验数据分析技术，[e-mail]。

引文格式: 贾小文,周兴江. 一种光电子能谱费米面拼接方法[J]. 物理与工程，2019，29(3)：80-84.

END

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